НГУ

Форумы НГУ
Текущее время: Чт фев 22, 2018 11:40 pm

Часовой пояс: UTC + 7 часов




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 74 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
Автор Сообщение
СообщениеДобавлено: Чт май 17, 2007 11:34 am 
Не в сети
Начинающий автор

Зарегистрирован: Вт окт 04, 2005 11:14 am
Сообщения: 330
Пусть T - линейное отображение из R^3 в R^3, а L - одномерное подпространство в R^3.
Доказать: найдется вектор x, такой, что и x, и Tx перпендикулярны L
Обобщить формулировку.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт май 17, 2007 12:09 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Сб окт 14, 2006 1:00 am
Сообщения: 628
Откуда: Максим
Зафиксируем ортонормированный базис e_{1},e_{2},e_{3} пространства R^{3}. Для определенности пусть L натянуто на вектор e_{1}. То есть любой вектор из L имеет вид (с;0;0). Матрица преобразования Т записывается стандартным образом:
a_{11} a_{12} a_{13}
..............................

Всякий вектор b с координатами (0;x;y) ортогонален L. Подействуем на него преобразованием Т. Получим вектор

Tb=(a_{12}x+a_{13}y;a_{22}x+a_{23}y;a_{32}x+a_{33}y). Умножим его скалярно на вектор из L, получим c(a_{12}x+a_{13}y). Если в матрице T элемент a_{13}\neq 0, то, например, вектор (0;1; -a_{12}/a_{13}) удовлетворяет условию. Если a_{13}=0, то можно взять вектор (0;0;1).


Вернуться к началу
 Профиль  
 
СообщениеДобавлено: Чт май 17, 2007 12:45 pm 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
К. Сторожук писал(а):
Пусть T - линейное отображение из R^3 в R^3, а L - одномерное подпространство в R^3.
Доказать: найдется вектор x, такой, что и x, и Tx перпендикулярны L.


Что-то я не понял, в чём прикол. Берём отображение, переводящее все элементы R^3 в ноль. И где тут вектор с заданными свойствами?

Или считается, что нулевой вектор перпендикулярен всему на свете? Тогда берём x = 0 и решать вообще нечего :)

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт май 17, 2007 1:11 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
К. Сторожук писал(а):
Обобщить формулировку.

Если T считается ещё и невырожденным, то обобщение такое: T действует из R^(k+m) в R^(k+m), где k > m, L - m-мерное.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт май 17, 2007 1:25 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Вт дек 13, 2005 1:28 pm
Сообщения: 473
Откуда: Кадетов Александр
2Коба Надо доказать, что для любого Т существунт такой х..., а не "существует такой Т, что для него найдется х..." Ну и конечно, вектор х предполагается ненулевым

MaxVT привёл верное решение. Предлагаю подумать над вопросом: в каких случаях (для каких Т) вектор х будет единственным (разумеется, с точностью до постоянного множителя)?
Pavel E. Alaev писал(а):
Если T считается ещё и невырожденным, то обобщение такое: T действует из R^(k+m) в R^(k+m), где k > m, L - m-мерное.

И вопрос: Всегда ли будет существовать такой вектор х? (Интереснее не предполагать заранее k>m)

_________________
Если на сигаретных пачках пишут "Лёгкие", то на бутылках с водкой надо писать "Печень"


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт май 17, 2007 1:45 pm 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
Kadetov писал(а):
2Коба Надо доказать, что для любого Т существунт такой х..., а не "существует такой Т, что для него найдется х..." Ну и конечно, вектор х предполагается ненулевым.


Правильно. А я привожу пример T, для которого не существует x. То есть контрпример :) (указать ошибку в решении MaxVT или сами найдёте?)

После Павла возможны ещё обобщения. Например, заменить R на произвольное поле F, а условие (k > m + невырожденность T) --- на более слабое, связывающее k, m и размерность образа. Или считать, что T действует на (пред)гильбертовом пространстве и копать в этом направлении.

В общем, простор для творчества велик. Хотя мне всё это кажется довольно малоинтересным.

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт май 17, 2007 2:14 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Вт дек 13, 2005 1:28 pm
Сообщения: 473
Откуда: Кадетов Александр
Коба писал(а):
Kadetov писал(а):
2Коба Надо доказать, что для любого Т существунт такой х..., а не "существует такой Т, что для него найдется х..." Ну и конечно, вектор х предполагается ненулевым.


Правильно. А я привожу пример T, для которого не существует x. То есть контрпример :) (указать ошибку в решении MaxVT или сами найдёте?)

Я понял, что Вы хотите сказать. Это уже вопрос терминологии

_________________
Если на сигаретных пачках пишут "Лёгкие", то на бутылках с водкой надо писать "Печень"


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт май 17, 2007 2:17 pm 
Не в сети
Начинающий автор

Зарегистрирован: Вт окт 04, 2005 11:14 am
Сообщения: 330
Не понимаю, зачем требовать невырожденность.

Предлагаю такое обобщение: T:R^n \to R^n. Тогда найдется вектор (ненулевой, конечно, все это поняли) x,
такой, что все векторы x, Tx, TTx, (T...(n-2 раза)...Tx) перпендикулярны Y.
хотелось бы получить бескоординатное, т.е. геометрическое решение, а то координатные все слишком простые :)

Сейчас пишу, а меня сосед настойчиво просит написать про Кобу.
Не буду.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт май 17, 2007 2:26 pm 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
К. Сторожук писал(а):
Не понимаю, зачем требовать невырожденность.

Предлагаю такое обобщение: T:R^n \to R^n. Тогда найдется вектор (ненулевой, конечно, все это поняли) x,
такой, что все векторы x, Tx, TTx, (T...(n-2 раза)...Tx) перпендикулярны Y.
хотелось бы получить бескоординатное, т.е. геометрическое решение, а то координатные все слишком простые :)

Сейчас пишу, а меня сосед настойчиво просит написать про Кобу.
Не буду.


Что-то я не понимаю. Почему не надо требовать невырожденность? Вы считаете, что мой контрпример таковым не является или как?

И что именно Ваш сосед просит про меня написать? Что-то, относящееся к этой задаче, или так, вообще?

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Последний раз редактировалось Коба Чт май 17, 2007 2:38 pm, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт май 17, 2007 2:38 pm 
Не в сети
Начинающий автор

Зарегистрирован: Вт окт 04, 2005 11:14 am
Сообщения: 330
Два вектора называются перпендикулярными, еслии их скалярное произведение равно нулю.
Что касается предположения, что самый первый x не равен нулю, то, писав первый пост, я намеренно опустил это требование, желая посмотреть, какой буквоед первым обратит на это внимание.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт май 17, 2007 2:41 pm 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
К. Сторожук писал(а):
Два вектора называются перпендикулярными, еслии их скалярное произведение равно нулю.
Что касается предположения, что самый первый x не равен нулю, то, писав первый пост, я намеренно опустил это требование, желая посмотреть, какой буквоед первым обратит на это внимание.


Притянуто за уши. Называется: оправдание задним числом.

Почему естественно считать, что x не может быть равен нулю, а Tx может? Не понимаю.

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт май 17, 2007 2:48 pm 
Не в сети
Начинающий автор

Зарегистрирован: Вт окт 04, 2005 11:14 am
Сообщения: 330
Потому что в жизни нулевые векторы если и встречаются, то только как образы ненулевых!

Вы не верите, что опустил требование ненулевости намеренно?
Поверьте, это все же так. Ибо я тоже испорчен образованием. :)


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт май 17, 2007 2:53 pm 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
К. Сторожук писал(а):
Вы не верите, что опустил требование ненулевости намеренно? Поверьте, это все же так. Ибо я тоже испорчен образованием. :)


Пока Вы об этом не сказали, я искренне считал, что Вы забыли упомянуть требование на невырожденность T. А ненулёвость всех векторов, о которых мы говорим как о перпендикулярных чему-то, и так подразумевается.

P. S. Вспомнил, как я однажды вёл математику в ФМШ.

Я: Вы что, думаете, что вектор --- это вот такой торчащий отрезок? (показываю аудитории широко известный жест --- оттопыренный средний палец правой руки).

Аудитория: Да, да...

Я: Нет, вы не правы. Вектор --- это точка, элемент векторного пространства...

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Последний раз редактировалось Коба Чт май 17, 2007 2:57 pm, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться к началу
 Профиль  
 
СообщениеДобавлено: Чт май 17, 2007 2:55 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Ср июн 15, 2005 4:00 pm
Сообщения: 1155
Коба писал(а):
Тогда берём x = 0 и решать вообще нечего :)
Это решение соответствует прыжку в ноль оборотов. Поставят невысокую оценку за технику.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт май 17, 2007 3:52 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Сб окт 14, 2006 1:00 am
Сообщения: 628
Откуда: Максим
Кто сомневается, могу дать названия нескольких учебников по алгебре и номера страниц в них, где написано, что нулевой вектор считается ортогональным любому.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 74 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Часовой пояс: UTC + 7 часов


Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
Создано на основе phpBB® Forum Software © phpBB Group
Русская поддержка phpBB