НГУ

Форумы НГУ
Текущее время: Вт фев 20, 2018 4:33 pm

Часовой пояс: UTC + 7 часов




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Школьное уравнение с параметром
СообщениеДобавлено: Пт апр 22, 2005 9:48 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт ноя 20, 2003 9:07 pm
Сообщения: 1919
Откуда: СССР
Найти все решения уравнения

a-\sqrt{a-x}=x^2

Не сомневаюсь, что наши студенты с этой задачкой расправятся быстро. Просто интересно, какие будут подходы?
Способ Феррари отбросим сразу, как недоступный нормальному школьнику.
Тогда имеется по меньшей мере еще 3, два из которых выглядят на мой взгляд симпатично, а третий из них вылазит так, что скрывает идею.
Try to guess.

_________________
Наука умеет много гитик.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
СообщениеДобавлено: Пт апр 22, 2005 10:22 pm 
Не в сети
Частый гость

Зарегистрирован: Вт апр 19, 2005 7:52 pm
Сообщения: 29
bolbot писал(а):
a-\sqrt{a-x}=x^2


Так?
a-sqrt{a-x}=x^2
Или Так?
a\sqrt{a-x}=x^2


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Сб апр 23, 2005 12:54 am 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт сен 07, 2001 7:00 am
Сообщения: 2848
Откуда: Станислав Березнюк
В системе LaTeX (которая стала де-факто стандартом написания математических формул в текстовом формате) команды предваряются символом обратной наклонной черты, т.е. "\sqrt{x}" - это "корень квадратный из x".

_________________
Мордор жил, Мордор жив, Мордор будет жить!


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Сб апр 23, 2005 1:15 am 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Вс ноя 21, 2004 6:01 pm
Сообщения: 1944
slb писал(а):
...символом обратной наклонной черты, т.е. "\sqrt{x}" - это "корень квадратный из x".

Почему-то многие первокуры деление вместо a/b рисуют как a\b... Повбывав бы :)


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Сб апр 23, 2005 1:34 am 
Не в сети
Постоянный посетитель

Зарегистрирован: Сб июл 24, 2004 9:46 am
Сообщения: 121
Откуда: Евгений В. Желободько
Y^2-Y=X^2-X


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн апр 25, 2005 12:06 am 
EZhel писал(а):
Y^2-Y=X^2-X

Однако соглашусь
a-x-\sqrt(a-x)=x^2-x
но где другие два метода?


Вернуться к началу
  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн апр 25, 2005 1:27 am 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Пн мар 29, 2004 11:53 pm
Сообщения: 1272
Откуда: Alexander Tsyplakov
Это же стандартный прикол - рассматривать a как переменную, а х как параметр.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн апр 25, 2005 1:54 am 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Пн мар 29, 2004 11:53 pm
Сообщения: 1272
Откуда: Alexander Tsyplakov
А вот еще школьное неравенство:
Найдите все значения параметра $a$, при которых множество решений неравенства $x(x - 2) \leq (a + 1)(|x - 1| - 1)$ содержит все члены некоторой бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом, равным 1,7, и положительным знаменателем.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн апр 25, 2005 2:25 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт ноя 20, 2003 9:07 pm
Сообщения: 1919
Откуда: СССР
По существу раскусили два:

1) Обозначаем y = \sqrt {a-x} и получаем систему
a=x^2+y, a=y^2+x, y>=0.

2) Разрешаем уравнение относительно параметра а. Эта идея особенно прикольна, когда вместо а стоит конкретное число - мне давали при а=5.

3) Это, в общем-то, изврат. Поскольку оба вышенаписанных способа ведут к решению двух квадратных уравнений с соответствующими ограничениями

x^2+x-a=0, x>=0
x^2-x+1-a=0, x<=1,

то возникает мысль, что при возведении в квадрат уравнения
\sqrt{a-x}=a-x^2 при ограничении x^2<=a
должны получить уравнение (а куда оно денется?):

(x^2+x-a)(x^2-x+1-a)=0,

что мы действительно и получаем.

2tsy. Дык, надо лишь 1.7 проверить. Этого и хватит. :)

N.Ch. писал(а):
Почему-то многие первокуры деление вместо a/b рисуют как a\b... Повбывав бы :)

В задачнике по теории чисел знаком a/b обозначено свойство: a делит b, то есть b делится на а без остатка.
Думаю, что в тексте, с которого вносила формулы обладательница красивого почерка, было a|b.

_________________
Наука умеет много гитик.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн апр 25, 2005 8:38 pm 
Не в сети
Постоянный посетитель

Зарегистрирован: Сб июл 24, 2004 9:46 am
Сообщения: 121
Откуда: Евгений В. Желободько
А вот одна задачка с устного вступительного экзамена МГУ.
Год этак 78 (список А. Шеня, [A. Shen, Entrance Examinations to the Mekh-mat, Mathematical Intelligencer 16 (1994), 6-10])

Покажите, что \frac{1}{\sin^2(x)} \leq \frac{1}{x^2} + 1- 4\frac{1}{\pi^2} для
0 < x < \pi/2.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт апр 26, 2005 6:02 am 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Пн сен 13, 2004 12:08 am
Сообщения: 406
EZhel писал(а):
А вот одна задачка <...>
Ну, в этой задаче, по сравнению с предложенной Больботом, похоже, все наоборот: формулировка пугает, а решение - рукой подать...

_________________
КТО ИЩЕТ СМЫСЛ - ТОТ ГЛЯДИТ НА НЕБЕСА...


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт апр 26, 2005 10:18 am 
EZhel писал(а):
Покажите, что \frac{1}{\sin^2(x)} \leq \frac{1}{x^2} + 1- 4\frac{1}{\pi^2} для
0 < x < \pi/2.

расшифруйте хоть, что тут написано, не все латех знают :)


Вернуться к началу
  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт апр 26, 2005 10:26 am 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт ноя 20, 2003 9:07 pm
Сообщения: 1919
Откуда: СССР
Anonymous писал(а):
EZhel писал(а):
Покажите, что \frac{1}{\sin^2(x)} \leq \frac{1}{x^2} + 1- 4\frac{1}{\pi^2} для
0 < x < \pi/2.

расшифруйте хоть, что тут написано, не все латех знают :)


Действительно увлеклись. Расшифровываю:

(sinx)^(-2) <= x^(-2) + 1 - 4*(pi)^(-2)

SMS писал(а):
формулировка пугает, а решение - рукой подать...

Ну не так, чтобы и подать, хотя навскидку совершенно ясно, что эта задача на возрастание/убывание.
Типично московская задача - не люблю такие.

_________________
Наука умеет много гитик.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт апр 26, 2005 7:54 pm 
Не в сети
Постоянный посетитель

Зарегистрирован: Сб июл 24, 2004 9:46 am
Сообщения: 121
Откуда: Евгений В. Желободько
SMS писал(а):
EZhel писал(а):
А вот одна задачка <...>
Ну, в этой задаче, по сравнению с предложенной Больботом, похоже, все наоборот: формулировка пугает, а решение - рукой подать...


bolbot прав, до решения ой как далеко. Просто интересно возможно ли это решить на УСТНОМ экзамене за разумное время. И есть ли короткое элегантное решение. Сообственно, задача взята с
http://www.lix.polytechnique.fr/Labo/Il ... h-mat.html


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт апр 26, 2005 9:27 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Вс ноя 21, 2004 6:01 pm
Сообщения: 1944
А вот у меня тоже есть задачка, я не знаю, как такие решать. Мальчику в школе задали. Доказать, что при целых n >= 2 число n^4+4 - составное. Только не говорите мне, что я тормоз, это я и так знаю. Не говорите мне, что я позорю универ - это мне уже сказали дома :) Зато я знаю, как это доказывать при четных n :) :) :)


Вернуться к началу
 Профиль  
 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Часовой пояс: UTC + 7 часов


Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 29


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
cron
Создано на основе phpBB® Forum Software © phpBB Group
Русская поддержка phpBB