НГУ

Форумы НГУ
Текущее время: Пн фев 19, 2018 5:06 pm

Часовой пояс: UTC + 7 часов




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Отношение площадей
СообщениеДобавлено: Пн июн 06, 2005 1:54 pm 
В выпуклом 4-угольнике ABCD площади S соединим вершины A,B,C,D с серединами сторон CD, DA, AB, BC соответственно. Их пересечения внутри 4-угольника дает вершины нового 4-угольника. Пусть его площадь равна S'. Доказать, что 1/6 < S'/S <= 1/5. Эти неравенства неулучшаемы.


Вернуться к началу
  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн июн 06, 2005 9:02 pm 
1/5 у квадрата, 1/6 у равностороннего треугольника.


Вернуться к началу
  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн июн 06, 2005 10:29 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Ср мар 24, 2004 4:04 pm
Сообщения: 624
Откуда: Михаил Макаров
Anonymous писал(а):
1/5 у квадрата, 1/6 у равностороннего треугольника.

1/5 даже у любого параллелограмма.

_________________
Я попал в окружение.
Кто там с белыми флагами?
Покупайте прощение.
А я исчезну оврагами.
(c) ДДТ.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт июн 07, 2005 2:07 pm 
Искомое отношение s/S зависит только от того, в каких пропорциях
диагонали исходного четырехугольника делятся точкой их пересечения.

Пусть длина каждой диагонали равна 1/2.
Обозначим x и y расстояния от точки пересечения диагоналей до их центров.
Имеем abs(x)<1/4, abs(y)<1/4.

Тогда искомое отношение задается формулой
s/S = 1/5*(1- 4/25*a*b/(c*d)),
где
a=(3*x+y)^2
b=(3*y-x)^2
c=5/8-2/5*(2*x-y)^2
d=5/8-2/5*(2*y+x)^2

Из формулы видно, что искомое отношение максимально и равно 1/5
не только для параллелограммов (x=y=0), но и в случаях 3*x+y=0 либо 3*y-x=0.

При abs(x) = abs(y)=1/4 (треугольник) отношение равно 1/6.

Доказать, что 4/25*a*b/(c*d)<1/6, не получилось, надоело.


Вернуться к началу
  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт июн 07, 2005 11:06 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Ср мар 24, 2004 4:04 pm
Сообщения: 624
Откуда: Михаил Макаров
Гость Я писал(а):
Пусть длина каждой диагонали равна 1/2.

Я чего-то не понимаю, или Вы предполагаете, что диагонали равны друг другу?

Нет, конечно задача-то аффинная (т.е. в условии участвуют только отношения площадей и отрезков), так что мы можем перевести наш четырёхугольник аффинным отображением куда нам вздумается, и доказывать утверждение лишь для получившегося четырёхугольника. Но легко видеть, что произвольный четырёхугольник может быть переведён в четырёхугольник с равными диагоналями некоторым аффинным отображением (например растяжением относительно прямой, содержащей одну из диагоналей). А посему если задача будет решена лишь для четырёхугольников с равными диагоналями, то она будет решена и вообще для всех четырёхугольников.

Но, во-первых, Вы про это ничего не сказали; а, во-вторых, такое решение явно неэлементарно.

_________________
Я попал в окружение.
Кто там с белыми флагами?
Покупайте прощение.
А я исчезну оврагами.
(c) ДДТ.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Ср июн 08, 2005 12:09 pm 
Михаил Макаров писал(а):

Но, во-первых, Вы про это ничего не сказали; а, во-вторых, такое решение явно неэлементарно.


Во-первых, я ничего об этом не сказал, так как я так и не рассуждал.
Сначала была получена формула, на основании которой и было сделано
вынесенное в начало сообщения утверждение.
А во-вторых, да будет мне позволительно прибегать к таким неэлементарным
приемам, как считать площадь исходного четырехугольника равной 1.

Для полноты картины докажу недостающее.
Оставалось убедиться, что
(25-16*(2*x-y)^2)*(25-16*(2*y+x)^2) - 64*24*(3*x+y)^2*(3*y-x)^2>0
После преобразования левой части имеем
25*(16*y^2+64*x*y-32*x^2+5)*( 16*x^2-64*x*y-32*y^2+5)>0
Обе скобки, как нетрудно убедиться, положительны при abs(x)<1/4, abs(y)<1/4.


Вернуться к началу
  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Ср июн 08, 2005 5:04 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Ср мар 24, 2004 4:04 pm
Сообщения: 624
Откуда: Михаил Макаров
Гость Я писал(а):
Во-первых, я ничего об этом не сказал, так как я так и не рассуждал.
Сначала была получена формула, на основании которой и было сделано
вынесенное в начало сообщения утверждение.
А во-вторых, да будет мне позволительно прибегать к таким неэлементарным
приемам, как считать площадь исходного четырехугольника равной 1.

Площадь считать единицей можно, но вот при этом считать диагонали равными друг другу --- нет! (Если не проводить каких-то дополнительных рассуждений, вроде того, что привёл я, почему так делать можно.)

А Вы случайно ещё диагонали перпендикулярными друг другу не считали? А то формула у Вас простая какая-то! Да и к тому же если, как Вы говорите, диагонали равны по 1/2, то площадь равна 1, только если диагонали перпендикулярны. Так что я решительно не понимаю, из каких соображений Вы ограничились рассмотрением лишь узкого класса четырёхугольников!

_________________
Я попал в окружение.
Кто там с белыми флагами?
Покупайте прощение.
А я исчезну оврагами.
(c) ДДТ.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Ср июн 08, 2005 5:16 pm 
Михаил Макаров писал(а):
Так что я решительно не понимаю


Тогда прочитайте следующее.

Считаем площадь 4-угольника ABCD равной 1.
Отрезки прямых, соединяющие вершины ABCD с серединами указанных
в условии сторон, отсекают от ABCD четыре больших треугольника.
Площади треугольников с углами A, B, C и D равны
(1/4-x), (1/4+y), (1/4+x) и (1/4-y) соответственно.
Через эти четыре площади выражаем площадь внутреннего
четырехугольника и получаем вышеприведенную формулу.
Для этого замечаем, что искомая площадь равна сумме площадей четырех маленьких
треугольников, образованных попарными пересечениями больших треугольников.

Как видите, четырехугольник у меня совершенно произвольный по форме.


Вернуться к началу
  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт июн 09, 2005 12:10 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Ср мар 24, 2004 4:04 pm
Сообщения: 624
Откуда: Михаил Макаров
Гость Я писал(а):
Михаил Макаров писал(а):
Так что я решительно не понимаю


Тогда прочитайте следующее.

Считаем площадь 4-угольника ABCD равной 1.
Отрезки прямых, соединяющие вершины ABCD с серединами указанных
в условии сторон, отсекают от ABCD четыре больших треугольника.
Площади треугольников с углами A, B, C и D равны
(1/4-x), (1/4+y), (1/4+x) и (1/4-y) соответственно.
Через эти четыре площади выражаем площадь внутреннего
четырехугольника и получаем вышеприведенную формулу.
Для этого замечаем, что искомая площадь равна сумме площадей четырех маленьких
треугольников, образованных попарными пересечениями больших треугольников.

Как видите, четырехугольник у меня совершенно произвольный по форме.

Блин. Я уже не знаю, как бы так вопрос-то сформулировать, чтобы Вы поняли, о чём я спрашиваю. Я согласен со следующим.

Пусть M, N, K, L --- середины сторон CD, DA, AB, BC соответственно. Пусть также XYZT --- получившийся четырёхугольник площади S', причём X --- точка пересечения прямых CK и BN, Y --- DL и CK, Z --- AM и DL, T --- BN и AM. Тогда сумма площадей треугольников ABN и DCL равна сумме площадей треугольников ADM и CDK и равна половине площади четырёхугольника ABCD, т.е. S/2. И если через x и y обозначить соответствующие разности площадей, то площади упомянутых выше треугольников действительно будут равны (S/4-x), (S/4+x), (S/4-y), (S/4+y). Вы это имели в виду? (Раньше у Вас вроде x и y означали какие-то длины. Теперь уже площади?) Да, с этим я согласен. И это я знал и без Вас. Это вообще очевидно. Кстати, отсюда немедленно следует, что S' равна сумме площадей треугольников BKX, CLY, DMZ и ANT. Ну и что дальше-то? Как отсюда следует Ваше утверждение:

Гость Я писал(а):
Искомое отношение s/S зависит только от того, в каких пропорциях
диагонали исходного четырехугольника делятся точкой их пересечения.


????

И я ведь не спорю с тем, что это утверждение верное. Оно действительно верно, ибо аффинным отображением произвольный четырёхугольник может быть переведён в четырёхугольник с равными и перпендикулярными диагоналями (сначала растяжением относительно одной из диагоналей а потом растяжением относительно биссектрисы угла между диагоналями). Ведь растяжением относительно одной из диагоналей мы можем добиться произвольного отношения длин диагоналей, а растяжением относительно биссектрисы угла между диагоналями мы можем, не меняя этого отношения, добиться произвольного угла между диагоналями. А поскольку при аффинных отображениях середины сторон перейдут в середины сторон, а также отношение S'/S обязано сохраниться, то действительно это отношение не зависит от угла между диагоналями и отношения их длин. А следовательно, зависит только от того, в каком отношении они делятся своей точкой пересечения.

Ещё раз: я согласен с тем, что Ваше утверждение верно. Я лишь не понимаю, как Вы его получили. Если, как Вы говорите, сначала была получена формула, а потом на её основании был сделан вывод, то где эта формула? Все формулы, которые я видел, были лишь для узкого класса четырёхугольников.

Постарайтесь объяснить как можно более понятно.

_________________
Я попал в окружение.
Кто там с белыми флагами?
Покупайте прощение.
А я исчезну оврагами.
(c) ДДТ.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт июн 09, 2005 2:29 pm 
Михаил Макаров писал(а):

Ещё раз: я согласен с тем, что Ваше утверждение верно. Я лишь не понимаю, как Вы его получили. Если, как Вы говорите, сначала была получена формула, а потом на её основании был сделан вывод, то где эта формула? Все формулы, которые я видел, были лишь для узкого класса четырёхугольников.



ИСКОМОЕ ОТНОШЕНИЕ У МЕНЯ ВЫРАЖАЕТСЯ ТОЛЬКО ЧЕРЕЗ ВЕЛИЧИНЫ
(1/4-x), (1/4+y), (1/4+x) и (1/4-y), КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ
ТОЛЬКО ОТНОШЕНИЕМ ОТРЕЗКОВ ДИАГОНАЛЕЙ.
ВЫВОД ФОРМУЛЫ НИКАК НЕ ОПИРАЕТСЯ НА ФОРМУ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА!
НУ ЧЕГО ЕЩЕ НАДО!

Я мог бы самое первое сообщения начать и так.

Пусть в произвольном выпуклом 4-угольнике ABCD
отрезки диагоналей от вершин A, B, C и D до точки их пересечения
имеют длины dA, dB, dC и dD соответственно.
Тогда искомое отношение задается формулой
s/S = ...,
в которой
x=1/4*(dC - dA)/(dC + dA),
y=1/4*(dB - dD)/(dB + dD).

Пара замечаний.

(1)
Вот как находятся площади малых треугольников.
(После чего их останется только сложить и преобразовать
полученную сумму к приведенному виду.)

Площади больших треугольников с углами A, B, C и D
обозначим sA, sB, sC и sD соответственно.
Тогда имеем соотношение
t/(sD - t) = (1/2*sC)/(sD + sA),
в котором t обозначает площадь малого треугольника,
образованного пересечением sD и sC.

(2)
Мне с самого начала было интересно узнать, какое решение
имеет в виду выставивший эту задачу. Интерес усилился после того,
как сегодня в обед я купил книжку
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ И ЗАДАЧИ ИЗ КОМБИНАТОРНОЙ ГЕОМЕТРИИ
авторов Д.О.Шклярский, Н.Н.Ченцов, И.М.Яглом за 1974 год.
В этой книге в качестве дополнения к задаче N43 формулируется как раз
выставленная здесь задача и говорится:
"Эта задача была поставлена в 1943 г. румынским математиком Т. Поповичи;
она была напечатана в румынском журнале Gazeta Matemetica,
однако решение ее никогда, видимо, не публиковалось."
Отсутствует решение и в названной книге.


Вернуться к началу
  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт июн 09, 2005 10:23 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Ср мар 24, 2004 4:04 pm
Сообщения: 624
Откуда: Михаил Макаров
Гость Я писал(а):
ИСКОМОЕ ОТНОШЕНИЕ У МЕНЯ ВЫРАЖАЕТСЯ ТОЛЬКО ЧЕРЕЗ ВЕЛИЧИНЫ
(1/4-x), (1/4+y), (1/4+x) и (1/4-y), КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ
ТОЛЬКО ОТНОШЕНИЕМ ОТРЕЗКОВ ДИАГОНАЛЕЙ.
ВЫВОД ФОРМУЛЫ НИКАК НЕ ОПИРАЕТСЯ НА ФОРМУ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА!
НУ ЧЕГО ЕЩЕ НАДО!


Спокойно, спокойно... Чего так орать-то?

Чего ещё надо? Так формулу и надо! Про величины (S/4-x), и т.д., Вы заговорили только после моих вопросов, и то не сразу. Ровно как и про площади треугольников, сумма которых равна искомой площади. Как выражаются искомое отношение через эти величины Вы разумеется тоже не написали, ибо даже об этих величинах речь не шла. У Вас там, помнится, всё выражалось отнюдь не через эти площади, а через расстояния от центров диагоналей до точки их пересечения.

Так что писали бы так, чтобы было понятно, и вопросов бы никаких не возникало. А то уже третий день твердите про какую-то формулу. А про какую, я, честно говоря, до сих пор не понял. Вот и здесь Вы пишете:

Гость Я писал(а):
Тогда искомое отношение задается формулой
s/S = ...,
в которой
x=1/4*(dC - dA)/(dC + dA),
y=1/4*(dB - dD)/(dB + dD).


Опять многоточие. Да и величины x и y уже явно не те, которые фигурируют в выражениях (S/4-x), и т.д. Здесь они вроде как безразмерными получаются, а там должны размерность площади иметь. Я не знаю, я в Ваших выкладках не разбирался, ибо Вы их не привели, но чисто судя по написанному, выглядит всё это как бред чистой воды. Так что давайте без личных обид, но читать Ваши посты и что-либо в них понимать НЕВОЗМОЖНО!

_________________
Я попал в окружение.
Кто там с белыми флагами?
Покупайте прощение.
А я исчезну оврагами.
(c) ДДТ.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт июн 10, 2005 9:22 am 
Уже все написано, но специально для того, кого постоянно плющит то по диагоналям
то по биссектрисам, из-за чего, видимо, он и не желает понять написанное, еще раз объясняю,
прокручиваю в медленном повторе.

(1)
В самом первом моем сообщении я рассказал о выводах, к которым пришел, решая задачу.
(Как пришел --- там нет ни слова, не это было главное.)

Первый вывод состоит в том, что отношение s/S зависит только от отношения кусков диагоналей.

Второй вывод --- это формула, позволяющая получить всё множество значений для s/S
(это и есть главное). Но если принят первый вывод, то эту формулу достаточно привести для
любых конкретных длин диагоналей, что там и делается. Выбрать длины равные 1/2 мне было
удобно тем, что в этом случае величины x и y можно интерпретировать как расстояния
от центров диагоналей до точки их пересечения.

(2)
Пусть в ПРОИЗВОЛЬНОМ выпуклом 4-угольнике ABCD
отрезки диагоналей от вершин A, B, C и D до точки их пересечения
имеют длины dA, dB, dC и dD соответственно.
Тогда искомое отношение задается формулой
s/S = 1/5*(1- 4/25*a*b/(c*d)),
где
a=(3*x+y)^2
b=(3*y-x)^2
c=5/8-2/5*(2*x-y)^2
d=5/8-2/5*(2*y+x)^2
x=1/4*(dC - dA)/(dC + dA)
y=1/4*(dB - dD)/(dB + dD).

(3)
Неравенство 4/25*a*b/(c*d)) < 1/6, или
(25-16*(2*x-y)^2)*(25-16*(2*y+x)^2) - 64*24*(3*x+y)^2*(3*y-x)^2>0,
доказывается преобразованием левой части
25*(16*y^2+64*x*y-32*x^2+5)*( 16*x^2-64*x*y-32*y^2+5)>0
Обе скобки, как нетрудно убедиться, положительны при abs(x)<1/4, abs(y)<1/4.

(4)
Считаем площадь 4-угольника ABCD равной 1.
Отрезки прямых, соединяющие вершины ABCD с серединами указанных
в условии сторон, отсекают от ABCD четыре больших треугольника.
Площади треугольников с углами A, B, C и D равны
(1/4-x), (1/4+y), (1/4+x) и (1/4-y) соответственно, где
x=1/4*(dC - dA)/(dC + dA)
y=1/4*(dB - dD)/(dB + dD).
Через эти четыре площади выражаем площадь внутреннего
четырехугольника и получаем вышеприведенную формулу.
Для этого замечаем, что искомая площадь равна сумме площадей четырех маленьких
треугольников, образованных попарными пересечениями больших треугольников.
Здесь можете считать площадь равной S, но тогда писать
(1/4*S-x*S), (1/4*S +y*S), (1/4*S +x*S) и (1/4*S -y*S).

(5)
Нахождение площадей малых треугольников.
Площади больших треугольников с углами A, B, C и D
обозначим sA, sB, sC и sD соответственно. Напомню, что они равны
(1/4-x), (1/4+y), (1/4+x) и (1/4-y) соответственно.
Имеем соотношение t/(sD - t) = (1/2*sC)/(sD + sA), оно верно для любых выпуклых
четырехугольников, в нем t обозначает площадь малого треугольника,
образованного пересечением sD и sC.
Здесь можете сказать, что это соотношение очевидно, если Вы его получили,
либо можете сказать, что это полный бред, если не получили.
Но в любом случае четыре таких соотношения надо сложить.
Полученную сумму можно преобразовать к виду

s/S = 1/5*(1- 4/25*a*b/(c*d)),
где
a=(3*x+y)^2
b=(3*y-x)^2
c=5/8-2/5*(2*x-y)^2
d=5/8-2/5*(2*y+x)^2
x=1/4*(dC - dA)/(dC + dA)
y=1/4*(dB - dD)/(dB + dD).


Вернуться к началу
  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт июл 26, 2005 3:44 pm 
Небольшое дополнение

В выпуклом 4-угольнике ABCD площади S соединим вершины A,B,C,D с точками на сторонах CD, DA, AB, BC соответственно,
которые (точки) делят каждую из этих сторон в отношении (e) к (1-e), 0<=e<=1.
Для отношения площади внутреннего 4-угольника к площади всего 4-угольника выполняются неулучшаемые неравенства
(1-e)^3/(1-e+e^2)) < S'/S <= (1-e)^2/(1+e^2).


Вернуться к началу
  
 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Часовой пояс: UTC + 7 часов


Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 32


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
Создано на основе phpBB® Forum Software © phpBB Group
Русская поддержка phpBB