НГУ

Форумы НГУ
Текущее время: Сб фев 24, 2018 3:08 pm

Часовой пояс: UTC + 7 часов




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Серединный треугольник
СообщениеДобавлено: Пн июл 25, 2005 11:39 am 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт ноя 20, 2003 9:07 pm
Сообщения: 1919
Откуда: СССР
На сторонах треугольника возьмём по точке и соединим их. Получим 4 треугольника. Если точки были серединами сторон, то, очевидно, периметры всех четырёх треугольников одинаковы.
Доказать обратное: если периметры всех четырёх треугольников одинаковы, то точки взяты в серединах сторон.
ЗЫ. Задачу стащил отсюда

_________________
Наука умеет много гитик.


Последний раз редактировалось bolbot Пн июл 25, 2005 5:14 pm, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения: Медианный треугольник
СообщениеДобавлено: Пн июл 25, 2005 4:32 pm 
Не в сети
Частый гость

Зарегистрирован: Пн июл 25, 2005 4:18 pm
Сообщения: 38
Кстати, подразумеваемый треугольник принято называть серединным треугольником, а под медианным естественно понимать треугольник, составленный из медиан исходного треугольника


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн июл 25, 2005 5:15 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт ноя 20, 2003 9:07 pm
Сообщения: 1919
Откуда: СССР
ОК, исправляю. Колебался между этими двумя названиями.

ЗЫ. Вот и автор поста оттуда появился. :)

_________________
Наука умеет много гитик.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения: Просьба
СообщениеДобавлено: Пн июл 25, 2005 5:34 pm 
Не в сети
Частый гость

Зарегистрирован: Пн июл 25, 2005 4:18 pm
Сообщения: 38
Ну, может, Вы пришлете "автору поста оттуда" свое решение этой задачки?


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн июл 25, 2005 6:29 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт ноя 20, 2003 9:07 pm
Сообщения: 1919
Откуда: СССР
Идею отправил по ЛС. Постить здесь пока воздержусь. Может быть кто заинтересуется и найдёт геометрическое доказательство?

_________________
Наука умеет много гитик.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн июл 25, 2005 7:46 pm 
Не в сети
Частый гость

Зарегистрирован: Пн июл 25, 2005 4:18 pm
Сообщения: 38
Спасибо. Прочитаю, разберусь, отвечу.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт июл 26, 2005 11:38 am 
Обозначим a1, a2, a3 - полудлины сторон большого треугольника.
Тогда периметры всех малых треугольников равны (a1+a2+a3).

Предположим, что существует смещенная конфигурация с указанным свойством.
Очевидно, что вершины внутреннего треугольника смещены (по сторонам большого треугольника)
относительно вершин срединного треугольника все по часовой (или все против часовой) стрелки.
Обозначим эти смещения e1, e2, e3>0.

Применяем теорему косинусов к угловому треугольнику в исходной и в смещенной конфигурации:

2*cos(a1, a2)=[(a1)^2+(a2)^2-(a3)^2]/[a1*a2]=[(a1-e1)^2+(a2+e2)^2-(a3+e1-e2)^2]/[(a1-e1)*(a2+e2)],

или
[(a1)+(a2)-(a3)]/[a1*a2]=[(a1-e1)+(a2+e2)-(a3+e1-e2)]/[(a1-e1)*(a2+e2)],

или
e1*[a2*(a1+a3-a2)+e2*(a1+a2-a3)]=e2*[a1*(a2+a3-a1)].

Перемножая три аналогичных равенства, получаем слева большее число, чем справа.
Поэтому e1=e2=e3=0.


Вернуться к началу
  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт июл 26, 2005 12:56 pm 
Не в сети
Частый гость

Зарегистрирован: Пн июл 25, 2005 4:18 pm
Сообщения: 38
Смещения е1, е2, е3 - я так понимаю, это длины соответствующих отрезков (?). Странная, однако, формула для третьей стороны смещенного треугольника а3+е1-е2. Что же получается?- что если смещения е1, е2 одинаковы, то третья сторона в смещенном
треугольнике и в серединном одинакова ???


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт июл 26, 2005 1:07 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Ср июн 15, 2005 4:00 pm
Сообщения: 1155
Отец Онуфрий писал(а):
Смещения е1, е2, е3 - я так понимаю, это длины соответствующих отрезков (?). Странная, однако, формула для третьей стороны смещенного треугольника а3+е1-е2. Что же получается?- что если смещения е1, е2 одинаковы, то третья сторона в смещенном
треугольнике и в серединном одинакова ???


Периметры всех малых треугольников должны равняться (a1+a2+a3), это очевидно.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт июл 26, 2005 1:10 pm 
Не в сети
Частый гость

Зарегистрирован: Пн июл 25, 2005 4:18 pm
Сообщения: 38
Это действительно очевидно. Что мне неочевидно, я написал выше.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт июл 26, 2005 1:17 pm 
Находим третью сторону смещенного треугольника при e1=e2=e:
(a1+a2+a3)-(a1-e)-(a2+e)=a3


Вернуться к началу
  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт июл 26, 2005 1:18 pm 
Не в сети
Частый гость

Зарегистрирован: Пн июл 25, 2005 4:18 pm
Сообщения: 38
ААА... ОК! А как прокомментировать


[(a1)^2+(a2)^2-(a3)^2]/[a1*a2]=[(a1-e1)^2+(a2+e2)^2-(a3+e1-e2)^2]/[(a1-e1)*(a2+e2)],

или
[(a1)+(a2)-(a3)]/[a1*a2]=[(a1-e1)+(a2+e2)-(a3+e1-e2)]/[(a1-e1)*(a2+e2)] ??


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт июл 26, 2005 1:21 pm 
Для начала добавьте к обеим частям равенства по числу 2.


Вернуться к началу
  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт июл 26, 2005 1:27 pm 
Не в сети
Частый гость

Зарегистрирован: Пн июл 25, 2005 4:18 pm
Сообщения: 38
Понял... как прокомментировать второе "или"?


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт июл 26, 2005 1:29 pm 
Да просто избавьтесь от знаменателей и приведите подобные.


Вернуться к началу
  
 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Часовой пояс: UTC + 7 часов


Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot] и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
Создано на основе phpBB® Forum Software © phpBB Group
Русская поддержка phpBB