НГУ

Форумы НГУ
Текущее время: Ср фев 21, 2018 2:21 am

Часовой пояс: UTC + 7 часов




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задачка по матану
СообщениеДобавлено: Ср сен 14, 2005 10:10 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Ср мар 24, 2004 4:04 pm
Сообщения: 624
Откуда: Михаил Макаров
Пофантазировав на тему sin(1/x), легко привести пример функции, дифференцируемой на отрезке [0,1], производная которой на этом отрезке не интегрируема по Риману.

А теперь задачка.

Существует ли функция f(x), дифференцируемая на отрезке [0,1], производная f'(x) которой ограничена на этом отрезке, но при этом эта производная f'(x) не интегрируема
а) по Риману,
б) по Лебегу,
даже не только на отрезке [0,1], а на любом отрезке, лежащем внутри отрезка [0,1]?

_________________
Я попал в окружение.
Кто там с белыми флагами?
Покупайте прощение.
А я исчезну оврагами.
(c) ДДТ.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт сен 15, 2005 8:51 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
Мне, честно говоря, интересно было бы узнать, как вообще построить дифференцируемую функцию на [0,1], производная которой ограничена и не интегрируема по Лебегу.

_________________
Не беги от снайпера - умрёшь усталым


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт сен 16, 2005 12:01 am 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Вс ноя 21, 2004 6:01 pm
Сообщения: 1944
Pavel E. Alaev писал(а):
Мне, честно говоря, интересно было бы узнать, как вообще построить дифференцируемую функцию на [0,1], производная которой ограничена и не интегрируема по Лебегу.

А у меня потребности проще: мне бы увидеть уже только ограниченную функцию на [0,1], не интегрируемую по Лебегу, и я больше ничего от этой жизни не захочу :) :) :)

(Измеримость, надо полагать, не вопрос? Т.е. дана заранее?).


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт сен 16, 2005 9:54 am 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Ср мар 24, 2004 4:04 pm
Сообщения: 624
Откуда: Михаил Макаров
N.Ch. писал(а):
А у меня потребности проще: мне бы увидеть уже только ограниченную функцию на [0,1], не интегрируемую по Лебегу, и я больше ничего от этой жизни не захочу :) :) :)

(Измеримость, надо полагать, не вопрос? Т.е. дана заранее?).


Действительно смешно...

Есть такая теорема, что любая ограниченная измеримая функция интегрируема по Лебегу. Для неизмеримых функций интегрируемость по Лебегу даже не определяется (во всяком случае так было у нас на лекциях по матану). Поэтому в классе ограниченных функций измеримость и интегрируемость по Лебегу --- это одно и то же.

Только вот я не понял, зачем надо требовать измеримость! Как раз-таки нам и надо, что f'(x) была неизмерима, или что то же самое --- неинтегрируема. А примером ограниченной неинтегрируемой на [0,1] по Лебегу функции может служить характеристическая функция любого неизмеримого по Лебегу подмножества отрезка [0,1].

Короче говоря, к пункту а) ответ положителен, и конструкция там весьма не тривиальная (буду очень рад, если кто-нибудь из участников форума до неё додумается). Пункт б) про интегрируемость по Лебегу я добавил, не задумываясь. Если такая функция и существует, то построить её наверное очень непросто (и по всей видимости надо строить так, чтобы не были удовлетворены условия теоремы Лузина). Короче, решение пункта б) я бы и сам хотел посмотреть (вне зависимости от того, ответ положителен или отрицателен).

_________________
Я попал в окружение.
Кто там с белыми флагами?
Покупайте прощение.
А я исчезну оврагами.
(c) ДДТ.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка по матану
СообщениеДобавлено: Пт сен 16, 2005 1:12 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Пт окт 01, 2004 6:27 pm
Сообщения: 1869
Михаил Макаров писал(а):
Существует ли функция f(x), дифференцируемая на отрезке [0,1], производная f'(x) которой ограничена на этом отрезке, но при этом эта производная f'(x) не интегрируема
...
б) по Лебегу ?


Если производная функции существует и ограничена, то такая функция является абсолютно непрерывной. Производная абсолютно непрерывной функции интегрируема по Лебегу и для неё будет выполняться формула Ньютона-Лейбница (которая вообще говоря не следует из интегрируемости по Лебегу производной). Подробнее, например, в учебнике Колмогоров, Фомин "Элементы теории функций и функционального анализа".

_________________
ПУШИНКА В УРАГАНЕ: Ура! За мной, валить деревья!


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт сен 16, 2005 2:37 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Вс ноя 21, 2004 6:01 pm
Сообщения: 1944
Михаил Макаров писал(а):
N.Ch. писал(а):
(Измеримость, надо полагать, не вопрос? Т.е. дана заранее?).

Только вот я не понял, зачем надо требовать измеримость! Как раз-таки нам и надо, что f'(x) была неизмерима, или что то же самое --- неинтегрируема. А примером ограниченной неинтегрируемой на [0,1] по Лебегу функции может служить характеристическая функция любого неизмеримого по Лебегу подмножества отрезка [0,1].
Т.е. сама функция f в исходной задаче предполагается неизмеримой? Иначе её производная, разумеется, измерима как поточечный предел измеримых функций. Но при этом дифференцируемой (ну хоть непрерывной) на отрезке... :)
Михаил Макаров писал(а):
Есть такая теорема, что любая ограниченная измеримая функция интегрируема по Лебегу
Да это я как бы в курсе :)


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка по матану
СообщениеДобавлено: Пт сен 16, 2005 6:56 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Ср мар 24, 2004 4:04 pm
Сообщения: 624
Откуда: Михаил Макаров
В.П. писал(а):
Если производная функции существует и ограничена, то такая функция является абсолютно непрерывной. Производная абсолютно непрерывной функции интегрируема по Лебегу и для неё будет выполняться формула Ньютона-Лейбница (которая вообще говоря не следует из интегрируемости по Лебегу производной). Подробнее, например, в учебнике Колмогоров, Фомин "Элементы теории функций и функционального анализа".


Ничего себе ириска...

Иными словами, любая ограниченная функция, имеющая первообразную, интегрируема по Лебегу. Так? Почему же тогда, прослушав двухгодичный курс матана, я до сих пор не знал такого замечательного факта?...

И ещё. Я, к сожалению, не знаю, что такое абсолютная непрерывность функции. Единственное, что мне приходит в голову, явно не подходит, поскольку слабее просто непрерывности.

N.Ch. писал(а):
Да это я как бы в курсе :)


Да я как бы и не сомневался...

N.Ch. писал(а):
Т.е. сама функция f в исходной задаче предполагается неизмеримой? Иначе её производная, разумеется, измерима как поточечный предел измеримых функций. Но при этом дифференцируемой (ну хоть непрерывной) на отрезке...


Ээээ... Наверное я не шарю в матане, но я не понял про поточечный предел. Предел чего? Единственное, что я знаю, это теорема о том, что если последовательность измеримых функций сходится почти всюду, то предельная функция тоже измерима. Но это утверждение здесь явно неприменимо.

_________________
Я попал в окружение.
Кто там с белыми флагами?
Покупайте прощение.
А я исчезну оврагами.
(c) ДДТ.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка по матану
СообщениеДобавлено: Пт сен 16, 2005 7:37 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Пт окт 01, 2004 6:27 pm
Сообщения: 1869
Михаил Макаров писал(а):
Иными словами, любая ограниченная функция, имеющая первообразную, интегрируема по Лебегу. Так?

Так. Ничего удивительного. Если есть первообразная, то можно определить через неё интеграл (интеграл Ньютона-Лейбница). И интеграл Лебега обобщает и такое определение интеграла.
Михаил Макаров писал(а):
Почему же тогда, прослушав двухгодичный курс матана, я до сих пор не знал такого замечательного факта?...

Если бы Вы учились на первом потоке, то я бы мог ответить на подобный вопрос :)
Михаил Макаров писал(а):
И ещё. Я, к сожалению, не знаю, что такое абсолютная непрерывность функции. Единственное, что мне приходит в голову, явно не подходит, поскольку слабее просто непрерывности.

Нет. Абсолютная непрерывность это даже сильнее, чем равномерная непрерывность (для любого эпсилон можно найти дельта, что если сумма длин интервалов меньше дельта, то сумма приращений функции на них меньше эпсилон). Но ведь у Вас даже дифференцируемость есть.

Михаил Макаров писал(а):

N.Ch. писал(а):
Т.е. сама функция f в исходной задаче предполагается неизмеримой? Иначе её производная, разумеется, измерима как поточечный предел измеримых функций. Но при этом дифференцируемой (ну хоть непрерывной) на отрезке...


Ээээ... Наверное я не шарю в матане, но я не понял про поточечный предел. Предел чего? Единственное, что я знаю, это теорема о том, что если последовательность измеримых функций сходится почти всюду, то предельная функция тоже измерима. Но это утверждение здесь явно неприменимо.

N.Ch. совершенно права. И приведённая Вами теорема как раз применима, так как производную можно представить как поточечный предел конечных разностей. А непрерывная функция конечно измерима по Лебегу.

_________________
ПУШИНКА В УРАГАНЕ: Ура! За мной, валить деревья!


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка по матану
СообщениеДобавлено: Пт сен 16, 2005 11:02 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Вс ноя 21, 2004 6:01 pm
Сообщения: 1944
Михаил Макаров писал(а):
Почему же тогда, прослушав двухгодичный курс матана, я до сих пор не знал такого замечательного факта?...

Увы: 2-й поток. Могу посоветовать замечательную книжку И.П.Натансона, где есть всё, чего Вам и Вашим коллегам недодали из ТФДП. Если хотите, могу дать свою на время - у меня их две. Да ещё интеграла Лебега хлебнёте в ТВ, не спешите :)
Михаил Макаров писал(а):
Но это утверждение здесь явно неприменимо.

Итак (я самые простые факты использую, которые можно доказывать просто). f задана на отрезке и непрерывна => измерима (даже по Борелю, тем более по Лебегу). Производная f'(x)=lim(f(x+d)-f(x))/d для всех x => измерима тоже как предел непрерывных функций со сходимостью в каждой точке. Плюс f'(x) ограничена => интегрируема по Лебегу как любая ограниченная измеримая функция на отрезке.

А вот насчёт Римана я пас, чур в Вольтерра не гожусь :) Последняя моя попытка построить пример по похожему поводу закончилась сокрушительным провалом: http://www.nsu.ru/phorum/read.php?f=6&i=7747&t=7747 :)


Последний раз редактировалось N.Ch. Пт сен 16, 2005 11:46 pm, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка по матану
СообщениеДобавлено: Пт сен 16, 2005 11:39 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Ср мар 24, 2004 4:04 pm
Сообщения: 624
Откуда: Михаил Макаров
N.Ch. писал(а):
Увы: 2-й поток... Могу посоветовать замечательную книжку И.П.Натансона, где есть всё, чего Вам и Вашим коллегам недодали из ТФДП. Если хотите, могу дать свою на время - у меня их две.


Спасибо, но я откажусь. Читать мне её всё равно особо некогда...

N.Ch. писал(а):
Итак (я самые простые факты использую, которые можно доказывать просто). f задана на отрезке и непрерывна => измерима (даже по Борелю, тем более по Лебегу). Производная f'(x)=lim(f(x+d)-f(x))/d для всех x => измерима тоже как предел непрерывных функций со сходимостью в каждой точке. Плюс f'(x) ограничена => интегрируема по Лебегу как любая ограниченная измеримая функция на отрезке.


Да, теперь я вроде понял.

N.Ch. писал(а):
А вот насчёт Римана я пас, чур в Вольтерра не гожусь :) Последняя моя попытка построить пример по похожему поводу закончилась сокрушительным провалом: http://www.nsu.ru/phorum/read.php?f=6&i=7747&t=7747 :)


Да, хорошая ссылка. Спасибо.

В примере к пункту а), известном мне, конструируется функция с ограниченной производной, множество точек разрыва которой имеет положительную меру Лебега. Вроде я что-то такое слышал, что этот пример есть также в какой-то древней малоизвестной книжке чуть ли не 50-какого-то года издания, с названием что-то типа "Примеры и контрпримеры из мат. анализа" (но это я не уверен).

_________________
Я попал в окружение.
Кто там с белыми флагами?
Покупайте прощение.
А я исчезну оврагами.
(c) ДДТ.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка по матану
СообщениеДобавлено: Пт сен 16, 2005 11:52 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Вс ноя 21, 2004 6:01 pm
Сообщения: 1944
Михаил Макаров писал(а):
Вроде я что-то такое слышал, что этот пример есть также в какой-то древней малоизвестной книжке чуть ли не 50-какого-то года издания, с названием что-то типа "Примеры и контрпримеры из мат. анализа" (но это я не уверен).

В Натансоне такой пример есть - глава 5, параграф 5. Со ссылкой на П.С.Александров, А.Н.Колмогоров, "Введение в ТФДП" 1938-го года. Но это не пример Вольтерра. Тот, вроде, сложнее.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка по матану
СообщениеДобавлено: Сб сен 17, 2005 6:27 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
Михаил Макаров писал(а):
Ничего себе ириска...

Тут можно еще таким общим принципом руководствоваться: измеримые по Лебегу функции замкнуты относительно всех обычных операций. В частности, производная измеримой функции опять измерима.

Из этого хорошего правила есть, правда, и неприятные исключения, по крайней мере в случае замены функций на множества: проекция измеримого множества в R^2 может быть не измеримой.

_________________
Не беги от снайпера - умрёшь усталым


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Сб сен 17, 2005 6:43 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Вс ноя 21, 2004 6:01 pm
Сообщения: 1944
У меня вообще после МА (И.А.Шведов у нас читал) осталось твёрдое ощущение (и ТВ его не поколебала :)), что с неизмеримыми функциями дела лучше не иметь - все хоть чуть-чуть приличные функции (те, которые имеют право гордо именоваться функциями) являются измеримыми. Остальные - парии, и толку с них никакого, в том числе интересного от них ничего не дождёшься :)


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн сен 19, 2005 9:52 am 
Не в сети
Плодовитый автор

Зарегистрирован: Вт мар 23, 2004 10:09 pm
Сообщения: 747
Откуда: Gavryushkin
N.Ch. писал(а):
Остальные - парии, и толку с них никакого, в том числе интересного от них ничего не дождёшься :)

Один хорошо известный в Сибирском Отделении (да и не только) геометр
как-то, на мой взгляд, очень справедливо, назвал остальных
<<уродами>>.

_________________
Ненужность матана — не повод его не осилить


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка по матану
СообщениеДобавлено: Пн сен 19, 2005 10:47 am 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Пт окт 01, 2004 6:27 pm
Сообщения: 1869
Михаил Макаров писал(а):
Вроде я что-то такое слышал, что этот пример есть также в какой-то древней малоизвестной книжке чуть ли не 50-какого-то года издания, с названием что-то типа "Примеры и контрпримеры из мат. анализа" (но это я не уверен).

Воспользуюсь случаем для рекламы:

Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. М.:Мир, !967.

_________________
ПУШИНКА В УРАГАНЕ: Ура! За мной, валить деревья!


Вернуться к началу
 Профиль  
 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Часовой пояс: UTC + 7 часов


Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 38


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
Создано на основе phpBB® Forum Software © phpBB Group
Русская поддержка phpBB