НГУ

Форумы НГУ
Текущее время: Пт фев 23, 2018 7:33 pm

Часовой пояс: UTC + 7 часов




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Предел
СообщениеДобавлено: Вт окт 04, 2005 9:21 pm 
Не в сети
Постоянный посетитель

Зарегистрирован: Вс июл 10, 2005 10:14 pm
Сообщения: 165
Откуда: Стас Минскер
Вычислить предел(n->inf) :
integral(0..pi)((x*cos(x)/(1+3sin^2(nx))dx
Буду признателен если у кого-нибудь появятся конструктивные идеи.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Ср окт 05, 2005 1:20 am 
Не в сети
Частый гость

Зарегистрирован: Сб сен 11, 2004 3:48 pm
Сообщения: 72
Откуда: Николай
Интуитивный ответ: -1

Чётко объяснить своё предположение не могу, ниже приведу некоторые соображения, не претендуя на математическую строгость.

Период квадрата синуса равен Pi, умножение (в знаменателе) аргумента x на n можно представить, как сжатие графика соответствующей функции вдоль оси Ox в n раз. Поэтому интеграл от функции 1/(1+3sin^2(nx)) от 0 до Pi от n не зависит и равен Pi/2. На произвольно выбранном сколь угодно малом отрезке (внутри отрезка интегрирования) указанная функция при достаточно большом n будет принимать все свои возможные значения с различной плотностью. Эдаким мат.ожиданием значения указанной функции в любом таком малом отрезке будет Pi/2 делённое на длину отрезка интегрирования Pi (то есть 1/2), а значение числителя x*cos(x) в малом отрезке меняется мало (в виду ограниченности производной). Вспоминаем определение интеграла, как предела суммы произведений длин отрезков разбиения на значение функции в соответствующих точках (которыми разбиение произвольным образом оснащено) при диаметре разбиения стремящемся к нулю. Интуитивно понимаем, что в каждом отрезке разбиения точка (которой он оснащается) выбирается произвольно (координата её внутри этого отрезка имеет, например, геометрическое распределение, хотя не важно) и поэтому в точках оснащения разбиения попадаются различные значения указанной функции, но значения эти имеют "центр тяжести" 1/2.

Интеграл же от x*cos(x) по dx от 0 до Pi равен -2.

_________________
If we knew what it was we were doing, it would not be called research, would it? © A. Einstein


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Ср окт 05, 2005 9:22 am 
Не в сети
Постоянный посетитель

Зарегистрирован: Сб окт 01, 2005 5:56 pm
Сообщения: 190
Откуда: Мистер Алеф
У меня такое впечатление, что это задача на равномерную сходимость (предельный переход под знаком собственного интеграла).

_________________
We are all Kosh.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Ср окт 05, 2005 10:49 am 
Не в сети
Постоянный посетитель

Зарегистрирован: Вс июл 10, 2005 10:14 pm
Сообщения: 165
Откуда: Стас Минскер
Равномероной сходимости, очевидно, нет.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Ср окт 05, 2005 8:28 pm 
Не в сети
Постоянный посетитель

Зарегистрирован: Сб окт 01, 2005 5:56 pm
Сообщения: 190
Откуда: Мистер Алеф
Тогда попробуй втупую вичислить интеграл по формуле НЛ. Первообразная для подынтегральной функции легко находится.

_________________
We are all Kosh.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Ср окт 05, 2005 11:28 pm 
Не в сети
Постоянный посетитель

Зарегистрирован: Вс июл 10, 2005 10:14 pm
Сообщения: 165
Откуда: Стас Минскер
Легко находится? Я думал, что это эквивалентно вычислению интеграла от дробно-рациональной функции со степенью N в знаменателе. Или я не прав?


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Ср окт 05, 2005 11:56 pm 
Не в сети
Частый гость

Зарегистрирован: Сб сен 11, 2004 3:48 pm
Сообщения: 72
Откуда: Николай
Набил на компе ради интереса (численно находим интеграл):

n = 1: -1.38991...
n = 2: -1.05466...
n = 3: -1.022...
n = 5: -1.00753...
n=10: -1.00184...
n=15: -1.00082...
n=25: -1.00029...

:)

_________________
If we knew what it was we were doing, it would not be called research, would it? © A. Einstein


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт окт 06, 2005 9:21 am 
Не в сети
Постоянный посетитель

Зарегистрирован: Сб окт 01, 2005 5:56 pm
Сообщения: 190
Откуда: Мистер Алеф
Извилин писал(а):
Легко находится? Я думал, что это эквивалентно вычислению интеграла от дробно-рациональной функции со степенью N в знаменателе. Или я не прав?

Извините я прогнал... В математику загнал, а символ умножить между n и х забыл вставить. Вот она мне и взяла первообразную считая весь знаменатель константой.

_________________
We are all Kosh.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт окт 06, 2005 9:26 pm 
Не в сети
Постоянный посетитель

Зарегистрирован: Вс июл 10, 2005 10:14 pm
Сообщения: 165
Откуда: Стас Минскер
Если я не ошибся, то интеграл от функции в знаменателе(то есть если положить числитель равным 1) есть 0 при любом n(точнее, равен
1/(2n)*(arctan(2tan(n*pi))-arctan(2tan(0))). Возможно, из этого можно что-то извлечь.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт окт 06, 2005 9:47 pm 
Не в сети
Частый гость

Зарегистрирован: Сб сен 11, 2004 3:48 pm
Сообщения: 72
Откуда: Николай
Извилин писал(а):
Если я не ошибся, то интеграл от функции в знаменателе(то есть если положить числитель равным 1) есть 0 при любом n(точнее, равен
1/(2n)*(arctan(2tan(n*pi))-arctan(2tan(0))). Возможно, из этого можно что-то извлечь.

Ошибся:
Virt писал(а):
интеграл от функции 1/(1+3sin^2(nx)) от 0 до Pi от n не зависит и равен Pi/2

Что из этого можно извлечь — я предлагал в своём первом сообщении.

_________________
If we knew what it was we were doing, it would not be called research, would it? © A. Einstein


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения: Re: Предел
СообщениеДобавлено: Вс окт 09, 2005 7:57 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Пт окт 01, 2004 6:27 pm
Сообщения: 1869
Извилин писал(а):
Вычислить предел(n->inf) :
integral(0..pi)((x*cos(x)/(1+3sin^2(nx))dx
Буду признателен если у кого-нибудь появятся конструктивные идеи.

Задача похожа на олимпиадную поскольку имеет красивое решение:
1. перейдём к переменной y=nx
2. представим интеграл в виде суммы интегралов по промежуткам (k\pi, (k+1)\pi).
3. представим подынтегральное выражение в виде произведения (1/1+3sin^2y)((y/n^2)cos(y/n)), по теореме о среднем
второй сомножитель заменим на значение функции в промежуточной точке.
4. интеграл от первой функции из суммы выносится, т.к. функция периодична с периодом \pi.
5. оставшаяся сумма (если умножить на \pi) является суммой Римана для интеграла от ycosy.
6. переходя к пределу получаем произведение двух интегралов от
(1/1+3sin^2y) и ycosy разделённое на \pi.
Ответ действительно -1.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения: Re: Предел
СообщениеДобавлено: Пн окт 10, 2005 7:23 pm 
Не в сети
Постоянный посетитель

Зарегистрирован: Вс июл 10, 2005 10:14 pm
Сообщения: 165
Откуда: Стас Минскер
В.П. писал(а):
5. оставшаяся сумма (если умножить на \pi) является суммой Римана для интеграла от ycosy.


Последний раз редактировалось Извилин Пн окт 10, 2005 7:34 pm, всего редактировалось 2 раз(а).

Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн окт 10, 2005 7:32 pm 
Не в сети
Постоянный посетитель

Зарегистрирован: Вс июл 10, 2005 10:14 pm
Сообщения: 165
Откуда: Стас Минскер
Насчет пункта 5: суммой Римана это выражение является, но вот только мелкость разбиения к 0 не стремится, поэтому на интеграл заменять нехорошо.
Мне удалось формализовать рассуждение Virt'a, используя то что разница между максимумом и минимумом функции xcos(x) на интервале ((i-1)pi/n, i*pi/n) имеет порядок 1/n, то есть на каждом из них(показывается строго) действительно можно заменять xcos(x) на промежуточное значение функции, а интеграл от знаменателя по каждому такому интервалу от i не зависит и равен интегральному среднему этой функции, то есть 1/2. Тогда возникает сумма Римана для фунции xcos(x), которая ввиду измельчения разбиения в пределе равна интегралу от этой функции.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт окт 11, 2005 6:51 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Пт окт 01, 2004 6:27 pm
Сообщения: 1869
Извилин писал(а):
Насчет пункта 5: суммой Римана это выражение является, но вот только мелкость разбиения к 0 не стремится, поэтому на интеграл заменять нехорошо.

\sum_{k=0}{n-1} {(y_k/n)cos(y_k/n)(\pi/n)}, где y_k \in (k\pi,(k+1)\pi) сходится именно к интегралу \int_{0}^{\pi} {ycos y} когда n стремится к бесконечности. И мелкость разбиения \pi/n стремится к 0.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Часовой пояс: UTC + 7 часов


Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Majestic-12 [Bot] и гости: 8


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
Создано на основе phpBB® Forum Software © phpBB Group
Русская поддержка phpBB